Spé Maths — Terminale

Fiche de révision complète · Baccalauréat
Analyse Algèbre Géométrie Probabilités Méthodes
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Suites numériques
Suites arithmétiques
Définition
Suite $(u_n)$ arithmétique de raison $r$ : $u_{n+1} = u_n + r$ pour tout $n$.
$$u_n = u_0 + nr \qquad \text{ou} \qquad u_n = u_p + (n-p)r$$
$$S = u_0 + u_1 + \cdots + u_{n-1} = \frac{n(u_0 + u_{n-1})}{2} = \frac{n \times (\text{premier} + \text{dernier})}{2}$$
  • $r > 0$ ⟹ croissante ; $r < 0$ ⟹ décroissante ; $r = 0$ ⟹ constante
  • Terme de rang $n$ dans une suite arithmétique de premier terme $u_1$ : $u_n = u_1 + (n-1)r$
Suites géométriques
Définition
Suite $(u_n)$ géométrique de raison $q \neq 0$ : $u_{n+1} = q \cdot u_n$ pour tout $n$.
$$u_n = u_0 \cdot q^n \qquad \text{ou} \qquad u_n = u_p \cdot q^{n-p}$$
$$S = u_0 + u_1 + \cdots + u_{n-1} = u_0 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \quad (q \neq 1)$$
  • $q > 1$ ⟹ croissante (si $u_0 > 0$) ; $0 < q < 1$ ⟹ décroissante (si $u_0 > 0$)
  • Si $q = 1$ : suite constante ; somme $= n \cdot u_0$
  • Astuce mémoire somme géo : $\frac{1 - q^{\text{nb de termes}}}{1-q} \times \text{premier terme}$
Suites définies par récurrence
  • Suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ : les points $(n, u_n)$ s'obtiennent par la méthode de la toile d'araignée
  • Si $f$ est croissante et la suite est monotone : elle converge vers un point fixe $\ell = f(\ell)$ ou diverge vers $\pm\infty$
  • Si $f$ est décroissante : les termes alternent autour du point fixe
  • Montrer monotonie : étudier signe de $u_{n+1} - u_n$, ou ratio $u_{n+1}/u_n$ si termes positifs
Piège classique
Une suite bornée ET monotone converge. Bornée seule ne suffit pas.
Suites liées à $e$ et $\ln$
$$u_n = \ln(n), \quad v_n = n^{1/n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1, \quad w_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \xrightarrow[n \to +\infty]{} e$$
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Limites de suites
Définitions
Limite finie $\ell$
$\lim u_n = \ell$ : pour tout $\varepsilon > 0$, à partir d'un certain rang, $|u_n - \ell| < \varepsilon$.
Limite infinie
$\lim u_n = +\infty$ : pour tout $A > 0$, à partir d'un certain rang, $u_n > A$.
Opérations sur les limites
$\lim u_n$$\lim v_n$$\lim(u_n + v_n)$$\lim(u_n \cdot v_n)$$\lim(u_n / v_n)$
$\ell$$\ell'$$\ell + \ell'$$\ell \ell'$$\ell/\ell'$ si $\ell' \neq 0$
$+\infty$$+\infty$$+\infty$$+\infty$FI
$+\infty$$\ell$$+\infty$signe dépendsigne dépend
$+\infty$$-\infty$FI ($\infty - \infty$)$-\infty$FI
$\ell \neq 0$$0$$\ell$$0$$\pm\infty$
Formes indéterminées (FI)
$+\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\infty/\infty$, $0/0$ — lever par factorisation, conjugué, croissances comparées.
Théorèmes fondamentaux
Théorème des gendarmes (sandwich)
Si $a_n \leq u_n \leq b_n$ pour $n$ assez grand et $\lim a_n = \lim b_n = \ell$, alors $\lim u_n = \ell$.
Suite monotone bornée
Toute suite croissante majorée converge. Toute suite décroissante minorée converge.
Suite géométrique $q^n$
  • $|q| < 1$ : $\lim q^n = 0$
  • $q = 1$ : $\lim q^n = 1$
  • $q > 1$ : $\lim q^n = +\infty$
  • $q \leq -1$ : pas de limite (diverge)
Croissances comparées (suites)
$$\lim_{n \to +\infty} \frac{\ln n}{n} = 0 \qquad \lim_{n \to +\infty} \frac{n^k}{a^n} = 0 \; (a>1) \qquad \lim_{n \to +\infty} \frac{a^n}{n!} = 0 \; (a \in \mathbb{R})$$
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Limites de fonctions
Types de limites et asymptotes
LimiteAsymptoteExemple
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell$Horizontale $y = \ell$ en $+\infty$$\lim_{x\to+\infty} \frac{1}{x} = 0$
$\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$Verticale $x = a$$\lim_{x\to 0^+} \ln x = -\infty$
$\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (ax+b)] = 0$Oblique $y = ax + b$—
Asymptote oblique
$y = ax + b$ est AO de $f$ en $+\infty$ si $a = \lim_{x\to+\infty} \frac{f(x)}{x}$ et $b = \lim_{x\to+\infty}[f(x) - ax]$.
Théorèmes
Théorème des gendarmes
Si $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ au voisinage de $a$ et $\lim_{x\to a} g = \lim_{x\to a} h = \ell$, alors $\lim_{x\to a} f = \ell$.
Limite par comparaison
$f(x) \leq g(x)$ et $\lim f = +\infty$ ⟹ $\lim g = +\infty$.
Limites usuelles à connaître
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \qquad \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \qquad \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1$$
$$\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0 \qquad \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0 \qquad \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \qquad \lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$$
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Continuité
Définitions
Continuité en un point $a$
$f$ continue en $a$ ssi $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ (la limite existe, est finie, et égale la valeur en $a$).
  • $f$ continue sur $I$ : continue en tout point de $I$
  • Polynômes, $\exp$, $\ln$ (sur $]0;+\infty[$), $\sin$, $\cos$ sont continues sur leur domaine
  • Somme, produit, quotient (dénominateur $\neq 0$), composée de fonctions continues : continue
Théorèmes clés
Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)
$f$ continue sur $[a,b]$. Pour tout $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe $c \in [a,b]$ tel que $f(c) = k$.
Corollaire (unicité sous stricte monotonie)
Si de plus $f$ est strictement monotone sur $[a,b]$, il existe un unique $c \in [a,b]$ tel que $f(c) = k$.
Théorème de la bijection
$f$ continue et strictement monotone sur $I$ réalise une bijection de $I$ sur $f(I)$. La bijection réciproque $f^{-1}$ est continue et strictement monotone de même sens sur $f(I)$.
Application au TVI
Pour montrer qu'une équation $f(x) = k$ admet une solution sur $[a,b]$ : vérifier que $f$ est continue, et que $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$ (changement de signe si $k=0$).
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Dérivation
Dérivées usuelles
$f(x)$$f'(x)$Domaine
$k$ (constante)$0$$\mathbb{R}$
$x^n$ ($n \in \mathbb{Z}$)$nx^{n-1}$$\mathbb{R}$ (ou $\mathbb{R}^*$ si $n<0$)
$\sqrt{x}$$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$$]0;+\infty[$
$e^x$$e^x$$\mathbb{R}$
$\ln x$$\dfrac{1}{x}$$]0;+\infty[$
$\sin x$$\cos x$$\mathbb{R}$
$\cos x$$-\sin x$$\mathbb{R}$
Règles de dérivation
Opérations
$(u + v)' = u' + v'$
$(ku)' = ku'$
$(uv)' = u'v + uv'$
$\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$
Composée $f \circ g$
$(f \circ g)' = (f' \circ g) \cdot g'$
$(u^n)' = nu^{n-1}u'$
$(\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$
$(e^u)' = u'e^u$
$(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$
Applications
  • Tangente en $(a, f(a))$ : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$
  • Croissance : $f' > 0 \Rightarrow f$ croissante ; $f' < 0 \Rightarrow f$ décroissante
  • Extremum local en $a$ : $f'(a) = 0$ et changement de signe de $f'$
  • Extremum global sur $[a,b]$ : comparer les valeurs aux extrema locaux et aux bornes
  • Convexité (hors programme officiel mais utile) : $f'' > 0$ ⟹ convexe (courbe au-dessus des tangentes)
Attention
$f'(a) = 0$ ne suffit pas à conclure : il faut vérifier le changement de signe. Point d'inflexion si $f'(a) = 0$ sans changement de signe.
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Fonction logarithme népérien
Définition et propriétés algébriques
Définition
$\ln$ est l'unique fonction dérivable sur $]0;+\infty[$ telle que $\ln' = 1/x$ et $\ln(1) = 0$.
C'est la primitive de $x \mapsto 1/x$ qui s'annule en $1$.
$$\ln(ab) = \ln a + \ln b \qquad \ln\!\left(\tfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b \qquad \ln(a^n) = n \ln a$$
$$\ln\!\left(\tfrac{1}{a}\right) = -\ln a \qquad \ln(\sqrt{a}) = \tfrac{1}{2}\ln a \qquad \ln(e) = 1 \qquad \ln(1) = 0$$
Étude de la fonction
$\ln' x = \dfrac{1}{x} > 0$ ⟹ $\ln$ strictement croissante
  • $\ln x < 0$ si $x \in ]0;1[$
  • $\ln x = 0$ si $x = 1$
  • $\ln x > 0$ si $x > 1$
$$\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$$
$$\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$$
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$$
Logarithme en base $a$ et changement de base
$$\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a} \qquad \text{avec } a > 0, a \neq 1$$
$$\log_{10} x = \frac{\ln x}{\ln 10} \approx \frac{\ln x}{2{,}303}$$
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Fonction exponentielle
Définition et propriétés
Définition
$\exp = \ln^{-1}$ (bijection réciproque de $\ln$). On note $\exp(x) = e^x$ avec $e \approx 2{,}718$.
$$e^{a+b} = e^a \cdot e^b \qquad e^{-a} = \frac{1}{e^a} \qquad e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b} \qquad (e^a)^n = e^{na}$$
$$e^0 = 1 \qquad e^1 = e \qquad e^{\ln x} = x \quad (x > 0) \qquad \ln(e^x) = x$$
Étude et limites
$(e^x)' = e^x > 0$ ⟹ $\exp$ strictement croissante
$(e^{u(x)})' = u'(x) \cdot e^{u(x)}$
$$\lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \qquad \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$$
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty \qquad \lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$$
Croissances comparées (à retenir absolument)
Pour tout $n \in \mathbb{N}$ et $a > 0$ : $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^n}{e^{ax}} = 0 \qquad \lim_{x \to +\infty} \frac{e^{ax}}{x^n} = +\infty \qquad \lim_{x \to -\infty} x^n e^{ax} = 0 \; (a > 0)$$ En mots : l'exponentielle l'emporte sur tout polynôme.
Fonction $x \mapsto a^x$
$$a^x = e^{x \ln a} \qquad (a^x)' = \ln(a) \cdot a^x$$
  • $a > 1$ : $a^x$ croissante ; $0 < a < 1$ : $a^x$ décroissante
  • $a = 1$ : constante égale à 1
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Intégration
Primitives usuelles
$f(x)$Primitive $F(x)$Condition
$x^n$ ($n \neq -1$)$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$$\mathbb{R}$
$\dfrac{1}{x}$$\ln|x|$$x \neq 0$
$e^x$$e^x$$\mathbb{R}$
$e^{ax+b}$$\dfrac{1}{a}e^{ax+b}$$a \neq 0$
$\cos x$$\sin x$$\mathbb{R}$
$\sin x$$-\cos x$$\mathbb{R}$
$\dfrac{u'}{u}$$\ln|u|$$u \neq 0$
$u' \cdot u^n$$\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ ($n \neq -1$)
$u' e^u$$e^u$
$\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$$2\sqrt{u}$$u > 0$
Intégrale définie
Théorème fondamental de l'analyse
Si $F$ est une primitive de $f$ sur $[a,b]$ : $$\int_a^b f(x)\,dx = \left[F(x)\right]_a^b = F(b) - F(a)$$
$$\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx \qquad \int_a^a f(x)\,dx = 0$$
$$\int_a^b [f(x) + g(x)]\,dx = \int_a^b f\,dx + \int_a^b g\,dx \qquad \int_a^b \lambda f\,dx = \lambda \int_a^b f\,dx$$
$$\int_a^b f\,dx = \int_a^c f\,dx + \int_c^b f\,dx \quad \text{(relation de Chasles)}$$
Intégration par parties (IPP)
$$\int_a^b u'(x)v(x)\,dx = \bigl[u(x)v(x)\bigr]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x)\,dx$$
  • Choisir $v$ tel que $v'$ soit simple ; $u'$ doit avoir une primitive simple
  • Cas classiques : $\int x e^x\,dx$, $\int x \ln x\,dx$, $\int x \cos x\,dx$, $\int \ln x\,dx$
  • Pour $\int \ln x\,dx$ : poser $u'=1$, $v=\ln x$
Valeur moyenne, inégalités, aires
$$\text{Valeur moyenne de } f \text{ sur } [a,b] : \quad \mu = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$$
Inégalité de la moyenne
$f$ continue sur $[a,b]$, $m \leq f \leq M$ ⟹ $m(b-a) \leq \displaystyle\int_a^b f\,dx \leq M(b-a)$.
$$\text{Aire entre } f \text{ et } g : \quad \mathcal{A} = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx$$
  • Si $f \geq 0$ sur $[a,b]$ : $\int_a^b f\,dx$ = aire sous la courbe (en unités d'aire)
  • Si $f \geq g$ sur $[a,b]$ : $\mathcal{A} = \int_a^b [f(x) - g(x)]\,dx$
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Équations différentielles
Équation $y' = ay$
Solution générale
Les solutions de $y' = ay$ (avec $a \in \mathbb{R}$) sur $\mathbb{R}$ sont : $$y(x) = Ce^{ax}, \quad C \in \mathbb{R}$$
Condition initiale
Si $y(0) = y_0$ : $C = y_0$, donc $y(x) = y_0 e^{ax}$.
Équation $y' = ay + b$
Solution générale ($a \neq 0$)
1. Solution particulière constante : $y^* = -b/a$ (poser $y'=0$).
2. Solution générale de l'équation homogène $y' = ay$ : $Ce^{ax}$.
3. Solution générale : $y(x) = Ce^{ax} - \dfrac{b}{a}$
  • Interprétation : solution converge vers $-b/a$ si $a < 0$ (régime permanent)
  • Si $a > 0$ : solution diverge (instable)
  • Condition initiale $y(x_0) = y_0$ ⟹ substituer pour trouver $C$
Équation du second ordre $y'' + ay' + by = 0$ Hors programme officiel
  • Équation caractéristique : $r^2 + ar + b = 0$, discriminant $\Delta = a^2 - 4b$
  • $\Delta > 0$ : 2 racines réelles $r_1, r_2$ ⟹ $y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$
  • $\Delta = 0$ : racine double $r_0$ ⟹ $y = (C_1 + C_2 x) e^{r_0 x}$
  • $\Delta < 0$ : racines complexes $\alpha \pm i\beta$ ⟹ $y = e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x)$
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Nombres complexes
Forme algébrique
Définition
$z = a + ib$ avec $a = \text{Re}(z)$, $b = \text{Im}(z)$, $i^2 = -1$.
$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2} \qquad \bar{z} = a - ib \qquad z \cdot \bar{z} = |z|^2$$
$$\text{Re}(z) = \frac{z + \bar{z}}{2} \qquad \text{Im}(z) = \frac{z - \bar{z}}{2i}$$
$$\overline{z + z'} = \bar{z} + \bar{z}' \qquad \overline{z \cdot z'} = \bar{z} \cdot \bar{z}' \qquad \left|\bar{z}\right| = |z|$$
  • $z$ réel ssi $\bar{z} = z$ ; $z$ imaginaire pur ssi $\bar{z} = -z$
  • Division : $\dfrac{z}{z'} = \dfrac{z \cdot \bar{z}'}{|z'|^2}$ (multiplier par conjugué du dénominateur)
Forme trigonométrique et exponentielle
Forme trigonométrique
$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ avec $r = |z| \geq 0$ et $\theta = \arg(z) \pmod{2\pi}$.
$$z = r e^{i\theta} \qquad \text{(formule d'Euler : } e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\text{)}$$
$$e^{i\pi} = -1 \qquad e^{i\pi/2} = i \qquad e^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta$$
Multiplication
$r e^{i\theta} \cdot r' e^{i\theta'} = rr'\, e^{i(\theta+\theta')}$
$|z \cdot z'| = |z| \cdot |z'|$
$\arg(z \cdot z') = \arg z + \arg z' \pmod{2\pi}$
Division
$\dfrac{re^{i\theta}}{r'e^{i\theta'}} = \dfrac{r}{r'}\,e^{i(\theta - \theta')}$
$\left|\dfrac{z}{z'}\right| = \dfrac{|z|}{|z'|}$
$\arg(z/z') = \arg z - \arg z' \pmod{2\pi}$
Formule de Moivre et racines
$$(e^{i\theta})^n = e^{in\theta} \quad \Leftrightarrow \quad (\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)$$
Racines $n$-ièmes de $z_0 = r_0 e^{i\theta_0}$
Les $n$ racines $n$-ièmes sont : $z_k = r_0^{1/n} \cdot e^{i(\theta_0 + 2k\pi)/n}$, pour $k = 0, 1, \ldots, n-1$.
Linéarisation (formules d'Euler)
$$\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \qquad \sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$$ Utile pour calculer $\cos^n\theta$ ou $\sin^n\theta$.
Équations du second degré dans $\mathbb{C}$
$$az^2 + bz + c = 0 \qquad \Delta = b^2 - 4ac$$
  • $\Delta > 0$ : deux racines réelles $\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
  • $\Delta = 0$ : racine double $z = -b/(2a)$
  • $\Delta < 0$ : $\Delta = -|\Delta|$, racines $\dfrac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$ (conjuguées)
Interprétation géométrique
  • Affixe : au point $M(a,b)$ on associe $z_M = a + ib$
  • $|z_B - z_A|$ = distance $AB$
  • $\arg(z_B - z_A)$ = angle que fait $\overrightarrow{AB}$ avec l'axe réel
  • Argument de $\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ = angle $\widehat{BAC}$ orienté
  • Rotation de centre $\Omega$ (affixe $\omega$), angle $\alpha$, rapport $k$ : $z' = ke^{i\alpha}(z - \omega) + \omega$
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Géométrie dans l'espace
Vecteurs et coordonnées
$$\overrightarrow{AB} = B - A = (x_B - x_A,\, y_B - y_A,\, z_B - z_A)$$
$$\left\|\overrightarrow{u}\right\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \qquad AB = \|\overrightarrow{AB}\|$$
$$I = \text{milieu } AB \Rightarrow x_I = \frac{x_A + x_B}{2},\; y_I = \frac{y_A + y_B}{2},\; z_I = \frac{z_A + z_B}{2}$$
Produit scalaire dans l'espace
$$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = xx' + yy' + zz' = \|\overrightarrow{u}\|\|\overrightarrow{v}\|\cos\theta$$
$$\overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{v} \Leftrightarrow \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 0 \qquad \|\overrightarrow{u}\|^2 = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u}$$
$$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \frac{1}{2}\left(\|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\|^2 - \|\overrightarrow{u}\|^2 - \|\overrightarrow{v}\|^2\right)$$
Plans
Équation cartésienne
Plan $\mathcal{P}$ de vecteur normal $\overrightarrow{n} = (a, b, c)$ passant par $A(x_0, y_0, z_0)$ : $$a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad ax + by + cz + d = 0$$
$$d(M, \mathcal{P}) = \frac{|ax_M + by_M + cz_M + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$
  • $\overrightarrow{n_1} \parallel \overrightarrow{n_2}$ ⟹ plans parallèles (ou confondus)
  • $\overrightarrow{n_1} \perp \overrightarrow{n_2}$ ⟹ plans perpendiculaires
  • Vecteur normal à plan défini par $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ : utiliser le produit vectoriel
Droites
Représentation paramétrique
Droite passant par $A(x_0, y_0, z_0)$ de vecteur directeur $\overrightarrow{d} = (\alpha, \beta, \gamma)$ : $$\begin{cases} x = x_0 + \alpha t \\ y = y_0 + \beta t \\ z = z_0 + \gamma t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}$$
  • $\overrightarrow{d_1} \parallel \overrightarrow{d_2}$ ⟹ droites parallèles (ou confondues)
  • $\overrightarrow{d} \perp \overrightarrow{n}$ ⟹ droite parallèle au plan (ou incluse)
  • Droite $\perp$ plan : $\overrightarrow{d} \parallel \overrightarrow{n}$
  • Position relative deux droites : parallèles, sécantes, coplanaires, gauches
$$d(A, \text{ droite de vect. dir. } \overrightarrow{d}) = \frac{\|\overrightarrow{AP} \times \overrightarrow{d}\|}{\|\overrightarrow{d}\|} \quad \text{(produit vectoriel)}$$
Produit vectoriel Utile
$$\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = \begin{vmatrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ x & y & z \\ x' & y' & z' \end{vmatrix} = (yz'-zy',\; zx'-xz',\; xy'-yx')$$
  • $\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} \perp \overrightarrow{u}$ et $\perp \overrightarrow{v}$ : sert à trouver $\overrightarrow{n}$ d'un plan
  • $\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = \overrightarrow{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{u} \parallel \overrightarrow{v}$
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Variables aléatoires
Variable aléatoire discrète
Loi de probabilité
Tableau de valeurs $x_i$ et probabilités $p_i = P(X = x_i)$ avec $\sum p_i = 1$.
$$E(X) = \sum_i x_i p_i \qquad V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \sum_i x_i^2 p_i - \mu^2$$
$$\sigma(X) = \sqrt{V(X)} \qquad \text{(écart-type)}$$
  • $E(aX + b) = aE(X) + b$
  • $V(aX + b) = a^2 V(X)$
  • $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$ (toujours)
  • $V(X+Y) = V(X) + V(Y)$ seulement si $X, Y$ indépendantes
Variable aléatoire à densité
Densité $f$
$f \geq 0$, $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,dt = 1$, $P(a \leq X \leq b) = \displaystyle\int_a^b f(t)\,dt$.
$$E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x)\,dx \qquad V(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f(x)\,dx - [E(X)]^2$$
  • Pour une loi à densité : $P(X = a) = 0$ (probabilité en un point nulle)
  • $P(a \leq X \leq b) = P(a < X < b) = P(a \leq X < b)$ etc.
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Lois de probabilité
Loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$
Contexte
$n$ épreuves de Bernoulli indépendantes, probabilité de succès $p$. $X$ = nombre de succès.
$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \qquad k \in \{0, 1, \ldots, n\}$$
$$E(X) = np \qquad V(X) = np(1-p) \qquad \sigma = \sqrt{np(1-p)}$$
  • $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ : coefficient binomial
  • Mode : valeur $k$ maximisant $P(X=k)$, souvent $\lfloor(n+1)p\rfloor$
  • Utiliser calculatrice pour $\text{binomFdp}(n, p, k)$ ou $\text{binomRép}(n, p, k)$ (CDF)
Loi normale $\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$
Densité
$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)$$ Courbe en cloche symétrique par rapport à $\mu$.
$$X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2) \Rightarrow Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1) \quad \text{(centrage-réduction)}$$
Propriétés clés à connaître
$$P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 0{,}683$$ $$P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 0{,}954$$ $$P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \approx 0{,}997$$ $$P(\mu - 1{,}96\sigma \leq X \leq \mu + 1{,}96\sigma) \approx 0{,}95$$
  • $E(X) = \mu$ ; $V(X) = \sigma^2$ ; $\sigma(X) = \sigma$
  • Loi symétrique : $P(X \leq \mu - a) = P(X \geq \mu + a)$
  • Calculatrice : $\text{normalFRép}(\mu, \sigma, a, b) = P(a \leq X \leq b)$
Loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0,1)$
$$\Phi(x) = P(Z \leq x) \qquad P(Z \leq -x) = 1 - \Phi(x) \quad \text{(symétrie)}$$
$x$$\Phi(x) = P(Z \leq x)$
$1{,}645$$0{,}95$ (seuil 90% bilatéral)
$1{,}96$$0{,}975$ (seuil 95% bilatéral)
$2{,}576$$0{,}995$ (seuil 99% bilatéral)
Loi exponentielle $\mathcal{E}(\lambda)$ Au programme
$$f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \cdot \mathbf{1}_{x \geq 0} \qquad P(X \geq t) = e^{-\lambda t}$$
$$E(X) = \frac{1}{\lambda} \qquad V(X) = \frac{1}{\lambda^2} \qquad \sigma = \frac{1}{\lambda}$$
Propriété sans mémoire
$P(X \geq s + t \mid X \geq s) = P(X \geq t)$ : le passé n'influence pas l'avenir.
  • Modélise durées de vie, temps d'attente
  • $P(a \leq X \leq b) = e^{-\lambda a} - e^{-\lambda b}$
Approximation de la binomiale
ConditionApproximation
$n \geq 30$, $np \geq 5$, $n(1-p) \geq 5$$\mathcal{B}(n,p) \approx \mathcal{N}(np,\; np(1-p))$
$n \geq 30$, $p \leq 0{,}1$ (rare)$\mathcal{B}(n,p) \approx \mathcal{P}(np)$ (Poisson, hors programme)
14
Inférence statistique
Intervalle de fluctuation
Contexte
Population de proportion $p$ inconnue. Échantillon de taille $n$. $F_n$ = fréquence observée = variable aléatoire.
Intervalle de fluctuation au seuil 95%
$$I_f = \left[p - \frac{1}{\sqrt{n}},\; p + \frac{1}{\sqrt{n}}\right]$$ Valide si $n \geq 25$, $np \geq 5$, $n(1-p) \geq 5$.
$P(F_n \in I_f) \geq 0{,}95$.
Usage
$p$ est connu (valeur théorique). On teste si la fréquence observée $f$ est "normale". Si $f \notin I_f$ : résultat surprenant, on doute de $p$.
Intervalle de confiance
Intervalle de confiance au niveau 95%
$f$ = fréquence observée dans l'échantillon. $$I_c = \left[f - \frac{1}{\sqrt{n}},\; f + \frac{1}{\sqrt{n}}\right]$$ On a $P(p \in I_c) \approx 0{,}95$.
Différence clé
Fluctuation : $p$ connu, $f$ aléatoire. Confiance : $f$ connu (observé), $p$ inconnu à estimer.
  • Plus $n$ est grand, plus l'intervalle est étroit (meilleure précision)
  • Pour $n = 100$ : marge d'erreur $1/\sqrt{100} = 0{,}1$ (10%)
  • Pour $n = 1000$ : marge $\approx 3{,}16\%$
  • Niveau 99% : utiliser $\dfrac{2{,}576}{2\sqrt{n}} \times 2 \approx \dfrac{2{,}58}{\sqrt{n}}$ de part et d'autre (hors programme simplifié)
Test d'hypothèse (test de conformité)
Démarche
1. Hypothèse nulle $H_0$ : $p = p_0$ (valeur supposée).
2. Hypothèse alternative $H_1$ : $p \neq p_0$ (test bilatéral) ou $p > p_0$ / $p < p_0$.
3. Calcul de l'intervalle de fluctuation au seuil $\alpha$ choisi.
4. Conclusion : si $f_{\text{obs}} \notin I_f$ ⟹ rejet de $H_0$ au seuil $\alpha$.
  • Seuil $\alpha = 5\%$ : risque d'erreur de première espèce (rejeter $H_0$ alors qu'elle est vraie)
  • "Rejeter $H_0$ au seuil 5%" $\neq$ "$H_0$ est fausse" (erreur possible)
  • Ne pas rejeter $H_0 \neq$ "$H_0$ est vraie"
Loi des grands nombres
Loi faible des grands nombres
Si $(X_i)$ i.i.d. d'espérance $\mu$ : pour tout $\varepsilon > 0$, $$P\!\left(\left|\frac{X_1 + \cdots + X_n}{n} - \mu\right| > \varepsilon\right) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$$ La moyenne empirique converge en probabilité vers $\mu$.
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Raisonnement par récurrence & méthodes
Raisonnement par récurrence
Structure complète à maîtriser
Soit $P(n)$ une propriété portant sur $n \in \mathbb{N}$ (ou $n \geq n_0$).

Initialisation : Vérifier $P(n_0)$ (souvent $n_0 = 0$ ou $1$).

Hérédité : Supposer $P(n)$ vraie pour un $n \geq n_0$ fixé ("hypothèse de récurrence"). Montrer que $P(n+1)$ est vraie.

Conclusion : Par le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$.
Erreurs fréquentes
  • Oublier l'initialisation
  • Utiliser $P(n+1)$ dans la démonstration de l'hérédité (circularité)
  • Ne pas préciser "pour un $n$ fixé"
Récurrence forte
Principe
Supposer $P(k)$ vraie pour tout $k \leq n$ (et pas seulement $k = n$) et montrer $P(n+1)$.
Utile quand $P(n+1)$ dépend de plusieurs termes précédents (ex : suites définies par $u_{n+1} = f(u_n, u_{n-1})$).
Formules et identités utiles
$$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} \qquad \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \qquad \sum_{k=0}^{n-1} q^k = \frac{1-q^n}{1-q}$$
$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k b^{n-k} \qquad \text{(formule du binôme)}$$
$$\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1 \qquad \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} \qquad \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$$
Méthodes de démonstration
MéthodeQuand l'utiliser
RécurrencePropriété indexée sur $\mathbb{N}$
ContraposéeMontrer $P \Rightarrow Q$ via $\neg Q \Rightarrow \neg P$
AbsurdeSupposer $\neg P$, dériver contradiction
Contre-exempleRéfuter "pour tout $x$, $P(x)$"
Disjonction de cas$P(x)$ selon différentes valeurs ou intervalles de $x$
Sens direct + réciproqueMontrer équivalence $\Leftrightarrow$
Résumé des grandes croissances comparées
$$\ln x \ll x^a \ll e^{bx} \quad (a, b > 0, \; x \to +\infty)$$
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^a} = 0 \qquad \lim_{x \to +\infty} \frac{x^a}{e^{bx}} = 0 \qquad \lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$$
$$\lim_{x \to 0^+} x^a \ln x = 0 \qquad (a > 0)$$
Trigonométrie — rappels essentiels
$$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 \qquad \cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = \cos^2\theta - \sin^2\theta$$
$$\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$$
$$\cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b \qquad \sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b$$
$$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} \qquad \cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$$
$\theta$$0$$\pi/6$$\pi/4$$\pi/3$$\pi/2$$\pi$
$\cos\theta$$1$$\tfrac{\sqrt{3}}{2}$$\tfrac{\sqrt{2}}{2}$$\tfrac{1}{2}$$0$$-1$
$\sin\theta$$0$$\tfrac{1}{2}$$\tfrac{\sqrt{2}}{2}$$\tfrac{\sqrt{3}}{2}$$1$$0$
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